【转】理论力学——对称性与守恒量

说完拉格朗日力学，一个自然而然的问题就是我们为什么需要一个研究力学的力学？想想写程序为什么需要虚基类？是为了统一接口，统一接口之后我们可以用统一的手段去处理各种不同的派生类，带来极大的方便。值得提醒的是，对于物理，普遍化的处理问题的一般方式往往都要比依赖技巧的个例重要。因而拉格朗日力学的意义之一其实也是统一接口。当有了拉格朗日量后，我们可以用同样的量子化方法过度到量子理论。而且，有一些脱离具体力学形式的结论，可以从拉格朗日力学中直接得出。最经典的一定会被讲到的结论，就是对称性与守恒量的关系。

这个关系往往被冠以诺特定理的名字被提起。一个不算严格的表述是：如果有一个拉格朗日量呈现一种连续（可微）的对称性，必有一个守恒量与之对应。

这个定理背后涉及的比较复杂的数学，我无力在此深入展开。比如对可微对称性的严格定义需要李群的概念，而定理最一般的形式需要用到流形与纤维丛的概念。这些数学我并不熟悉。

对于对称这个概念，如果我们考察它的实质，实际上是一种不变性。严格来说，如果系统在某个变换操作下不变，我们称为它有一种对称性。比如，一个左右对称的图形是指将图形沿对称轴反射后，图形仍然不变。再比如旋转对称性是指如果将图形旋转一定角度，图形仍然不变。这里反射与旋转都是对称操作。之所以会涉及群论，是因为任意的两次对称操作联合起来实施，依然是一个对称操作，这种结构与群是一致的，所以我们可以用群来描述对称操作。而如果对称操作是可微的（粗略地讲，存在“无穷小”的对称操作），则可以使用李群来描述。

那么对物理而言，最为重要的对称操作，有3类：

1. 时间平移对称：将系统的时间整体平移，不改变系统的性质。换句话说，系统的运动性质不随时间的变化而变化。
2. 空间平移对称：将系统的位置整体平移，不改变系统的性质。实质上是说空间的不同位置是没有分别的。
3. 空间旋转对称：将系统旋转任意角度，不改变系统的性质。实质上是说空间的各个方向是没有分别的。

而这三个对称操作带来的守恒量，称为能量、动量与角动量。

时间平移对称意味着表征系统运动性质的拉氏量对于变换不变，即：

那么考虑全微分：

因为我们只考虑真实的物理过程，中间步骤用到了欧拉-拉格朗日方程。上式很明显可以对进行积分，积分之后得到一个常数，这个常数在系统运动的过程中都不会改变，因此是一个守恒量。这个守恒量就称为能量：

类似的，空间平移对称意味着拉氏量不含坐标，于是由于欧拉-拉格朗日方程：

也可以进行一次积分，得到一个常量：

这个常量称为动量。

角动量的推导稍微繁琐一点，首先能量和动量的定义是对于任何类型的系统都可以成立的，但角动量只针对三维空间中的运动。广义坐标要取为空间坐标本身。推导如果引入一个更为广泛的定理，会稍微容易一些：

如果一个拉氏量在某种单参数变换群下不变，那么如果表征这个变换群的向量场是，那么动量沿向量场的“分量”是守恒的。

我们直接用转动作为例子。对于坐标系沿轴的转动，可以写成矩阵形式：

这正是一个只有单个参数表征的变换群。因为转动后坐标变为：

对微分：

换句话说，这个变换可以看做是微分方程：

的解，变换可以形式地写成。而向量场足以表征这个变换。这个向量场就是我们需要的与转动相联系的向量场。那么根据定理，我们有守恒量：

称为方向的角动量。另外两个方向同理。综合起来，可以用叉乘将角动量写成：

对于能量与动量守恒，还有一点可以注意一下。以前与人讨论时曾有一个疑问，为何从牛顿第二定律3个方程，可以推出能量守恒、动量守恒和角动量守恒总共7个方程。实际上，因为牛顿是一个二阶微分方程，在求解时需要进行2次积分，对于个方程，则需要引入个积分常数。而推导能量与动量，实际上对运动方程做了一次积分，所以能量和动量其实是包含在这个积分常数之中。而角动量的定义实际上线性依赖于动量，并不独立。也因此，能量、动量也称为运动方程的初积分。

以上是针对粒子系统而言的。对于场的拉格朗日密度，用类似的方式得到的与时空平移对称有关的守恒量是一个张量，称为能量-动量张量（同样，重复指标表示求和）：

它的结构和前面能量的定义是一致的。这个式子刻意写成了通用的形式，对于非相对论性的定义于三维欧式空间的场（比如连续介质的形变），度规就只是普通的单位矩阵，这个张量实际上是动量张量。对于更一般的场（比如电磁场），则定义于4维时空之中，度规是闵可夫斯基空间的度规或。这个式子算出的能量动量张量是没有对角化的。因为同样的能量动量张量之间可以相差一个张量的散度，所以一般使用时我们倾向于利用这个性质将它对角化，会有很多方便。

能量动量张量另一个重要的地方，是它与时空的弯曲相关。著名的爱因斯坦场方程表达的就是时空的曲率与能量动量张量的关系：

作为参考，如果从上一篇所给的几个拉式量出发，我们可以推出牛顿力学中的能量、动量：

对于相对论：

（这是用坐标时间定义的普通速度表示的，如果用本征时定义4-速度，会更为简洁。注意到，，，。）

对于电磁场，能量动量张量为：

等等。

一个更有趣的例子是平方反比力场中的粒子运动（开普勒问题）：

它除了通常的能量守恒和对于原点的角动量守恒外，还隐藏着一个额外的守恒量：拉普拉斯-隆格-楞次矢量：

因为，这个矢量始终位于位置矢量与速度所张成的平面上。另外由这个矢量可以看出粒子的运动必须是圆锥曲线。然而，造成这个守恒量的对称操作并不显然，它源于与开普勒问题等价的一个4维空间中的3维球面上的运动问题。